「2つの封筒問題」は 確率計算に使えない封筒を追加していることに気付けば解決

2つの封筒問題を解析してみたヨ

「2つの封筒問題」というひっかけ問題について、ネット上でいろんな解説があってソートー面白いネ。マトを得ているものもあれば、勘違いしてるもの、中には間違いを堂々と正解として出してる例もある。今でもすっきりとした解説があるとかないとか・・・。

基本的には、いらない情報に惑わされて、基準を変えて考えているうちに、最初の設定からずれまくるというパターン。問題の解釈から書き換えてしまうあたり、相対論のトリックとそっくり。

何が勘違いの原因で、何がパラドクスと感じる原因なのか、すっきりさせてくれる解説が無いようなので、独断と偏見で解析してみたヨ。

とは言うものの、これも間違ってる可能性もあるから、よーく考えてネ。

 2つの封筒問題(基本形)

2つの封筒にお金が入ってる。金額の割合は1対

どちらにいくら入っているかは分からない状態で、選んだ封筒の中のお金をもらうことができる。

好きな封筒を選んた後で、残った封筒を交換するか聞かれる。

   

 さて、より得するには、封筒を交換するべき?



金額を仮定した解法で問題発生!

そもそも・・・

中身の見えない封筒を前に、どっちの封筒を選んだら得するか?というのが2つの封筒問題の基本。

はじめに選んだ封筒と残りの封筒の関係は、1/2の確率でしか決まらない。手にしている金額と残りの金額がわからないんだから交換してもしなくても同じ。

だから、得するために交換するべきかと聞かれてもわからない。

この問題で、
「交換しない方がいい!」とか、「交換した方がいい」
というのは、
「自分の直感を信じたいから」、「なんとなく」
みたいに気分の問題だったりする。

ところが・・・

ところがこの問題に少し手を加えるだけで、「交換した方がいい」という意見を主張する人たちが出てくる。数学者でも勘違いするほど高度な数学問題に書き換えられてしまうんだ。

ということは・・・

基本問題に手を加えた内容を冷静に解析すれば、問題の本質が見えてくるんじゃない?


たいていは、頭のいい人が確率や数学の理論を持ち出すことで、単純な問題がややこしくなっちゃうパターンが多い。こんな具合に・・・。

待て待て、「わからない」と結論を出すのはまだ早い。このような問題は仮想的な条件を想定して考える解法で簡単に解決できる。封筒を交換した時の期待値を計算すれば、おのずと答が導き出される。

仮に、受け取った封筒に1万円が入っていたと仮定しよう。すると、残りの封筒には、5千円、あるいは2万円が入っていることになり、交換後の金額は5千円か2万円のは2通りしかあり得ないことになる。

では、このときの期待値を計算してみよう。

5千円×1/2+2万円×1/2=12500円

交換前の1万円が、交換することによって、12500円に増えることが期待できる。もちろん、これは計算上の金額であり、たった一回の試行の場合であれば、損することもあり得る。だが、複数回繰り返すうちに、次第に期待値の金額に近づく。

この計算をに従えば、中の金額がいくらであろうと「必ず交換した方が得」になるのは明らか。


なるほど、期待値を計算してスマートに問題解決ってわけだね。でも、仮想的な金額なら封筒開けて見なくても同じだよネ。2人の人物に、それぞれ別の封筒を選ばせたら、2人とも交換したいって言い出して、交換したらまた交換しようって言い出して、またまた・・・・、なんてことにならない?

それを指摘した問題が「2つの封筒のパラドクス」。

仮想的な期待値の式を出したことでパラドクスが起きているので、具体的な金額に関係ない問題に書き換えてみたヨ。

2つの封筒のパラドクス(基本形 + 解法提起)

2つの封筒にお金が入ってる。金額の割合は1対

どちらにいくら入っているかは分からない状態で、選んだ封筒の中のお金をもらうことができる。

好きな封筒を選んた後で、残った封筒と交換するか聞かれる。

    封筒の金額は1対2

選んだ封筒の金額を円と仮定して、残りの封筒には、0.5円か2円が入っていると予想した。交換した時の期待値

0.5円×1/2+2円×1/2=1.25

となり、交換をした方が得をする。

仮に残りの封筒を選択していた場合、封筒の金額を円と仮定して、交換した時の期待値は、

0.5円×1/2+2円×1/2=1.25

となり、交換をした方が得をする。

結果、どちらの封筒を選択しても封筒を交換した方が得するというパラドクスが発生してしまった。


 以上の考察で、パラドクスの根本的な原因はなにか?


こんなトリックに惑わされるようじゃまだまだじゃな。どんなものでも期待値が計算できるという思い込みで計算したところがパラドクスの原因じゃ。

そもそもじゃが、「0.5A円とA円」、「A円と2A円」の組合わせが2種類しか考えられないからと言って、それぞれの組が都合よく均等に1/2の確率で出現すると勝手に勘違いしておる。どのような金額の組を用意したかについては、特に設定されておらん。つまり、出題者の懐具合で確率なんぞいくらでも変わってしまうということじゃ。

たとえば、最初に選んだ封筒に1万円が入っていたとしよう。選択しなかった封筒に半額の5千円が入っている予想はともかく、出題者が倍額の2万円を用意するつもりがない場合は、2万円を含めた組合せに関しては出現率0となってしまう。当然、期待値は、0である。

その点を考慮して期待値の計算式の出現率に相当する「1/2」は、未知数としておく必要がある。

期待値 = 0.5A円×(α)+2A円×(1-α

結局、出現率が不明である限り期待値を計算できずに、交換の損得なども不明のままじゃ。

ただし、それぞれの組合せの出現率が1/2であれば、前出の期待値、1.25A円を元に交換した方が得であると判断可能じゃ。



パラドクスを解決できない解答ばかり?

特に難しい問題でもなく、期待値の算出に必要なそれぞれの組合せの出現率が1/2でないと気付くと、一応、パラドクスが発生しないような状況を簡単に見つけることができるネ。

そうなると、問題の組合せや条件を変えてみて、数学の確率について説明したり、ムツカシー確率理論を延々と論じる数学の先生も現れる。この段階でパラドクスの完全解決を確信して、

出現率が「1/2」でないことに気付かないのがパラドクスの原因である!

なんて、自信たっぷりの解説してる人もいるけど、なんかおかしくない?

そもそも・・・

2つの封筒問題(基本形)の段階で、交換する期待値は、交換の前後で変わらない。「わからない」と答えていればパラドクスはなかったよネ。

ところが・・・

2つの封筒のパラドクス(基本形 + 解法提起)の解法提起の部分でパラドクスが発生して、出現率が「1/2」でないことに気づくと、出現率を特定したり、未知数扱いにすることでパラドクスを解決できることがわかった。

結局・・・

パラドクスに合わせて「2つの封筒問題」の設定を変えて、パラドクスをなくした。メデタシ、メデタシ。

この流れは、必ずしも間違いとは言えないけど、正解でもない。パラドクスのもとになった設定を変えて、パラドクスを解決? これって未解決ってことにならない?

<以下作成中>