相対論的ＧＰＳ解説の根本的誤り

ＧＰＳが相対論の証拠になってるという意見で、ＧＰＳの仕組みを説明したサイトや記事を見かけることがよくあるネ。

ま、相対論のおかげでカーナビ使えてますってウンチクは、だいたいこんな感じの図でＧＰＳの原理を説明した後で、光速度と相対論の1日の補正分を掛け算して、「アインシュタイン、スゴイ！」って関心しているパターンが多い。

複数の人工衛星のデータから特定の１点をアブリ出しているというのは基本的に間違ってないようなんだけど・・・

これってどういうこと？

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説明の目的は相対論のアピール

おっきな穴ボコ掘ったり、巨大な装置を作り続けるのに多額の税金使ってることつっこまれないように、相対論が役に立ってることをアピールするのに必死。これもみんな、ＧＰＳの相対論的補正が無視できないという話からきている。

そして、その計算に登場するのが三辺測量の原理だけで説明されてるＧＰＳ。そもそも、なんで日本では「カーナビが機能するのは相対性理論のおかげ」なんて、厚かましい都市伝説が流されているんだろうね。

もとはといえば、近年になって、光の速度とかけ離れた日常生活に何の恩恵ももたらしていない相対性理論の疑似科学性が認識されるようになると、本を売ったり商売している学者が活動が限定されるようになって来た。座標変換のミスから発生してる時空理論を現実世界に応用できるわけないからネ。

ちょうどそんな時、うまい具合に海外のニール・アシュビーという相対論学者が、ＧＰＳ衛星に搭載されている原子時計の相対論的補正量として１日累積した場合の試算を論文で発表した。これを見た日本のおバカな相対論学者が、さらに計算式を単純に書き直して、

と、わずかな時刻修正分に光速を掛け合わせたてモノスゴイ距離を出してしまった。

もちろん、ニール・アシュビーも相対論の有用性をアピールしようとしたのは同じだけど、実際のＧＰＳの計算方法ではなく、あくまで仮想的なシステムでの試算というカタチで発表している。

技術屋さんの詳しい説明と相対論的な説明では根本的に目的が違うので、当然、計算結果に違いが出てくる。測量などの技術的な説明では、正確な数値に近づけいるために計算手法が工夫されているのに対して、相対論的説明では、いかに誤差が大きく出て相対論の必要性をアピールできるかというのが課題になっている。

そのために、実際に運用されているシステムより誤差を大きく出してくれるシステムの方が好都合。もし、実際のＧＰＳシステムと同じように相対論的計算したら、「なんだ、相対論の影響なんて全然ないじゃん！」って、みんなが納得しちゃうという事態になりかねない。そこで、

と、相対論的補正が結果的に相殺しているシステムの演算部分を全部省略した架空ののＧＰＳを登場させてしまう。それが三辺測量の原理だけで説明されてるＧＰＳだヨ。本当のＧＰＳの開発者は、搭載する原子時計に何億分の1秒の相対論的補正で数キロもの誤差が出てしまうな設計をするほどマヌケじゃない。

ちなみに日本で相対論やアインシュタインのおかげと騒いでる

マイケルソン干渉計を発明して困難な計測を可能にしたマイケルソンさんも軍人で発明家だったけど、二人とも同じアインシュタインに功績を横取りされるなんて奇妙だネ。ま、世の中すべて相対論のおかげと豪語する学者もいるし、先人の功績に敬意を払えない学問は科学の世界に必要ない気がする。

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必要なのは時刻データの処理方法

ＧＰＳ衛星に搭載された原子時計が相対論的な補正で進み方を調整されているということは、調整しないときと比べて時刻がずれるということ。つまり、相対論的補正の影響を計算するにはＧＰＳで時刻データをどう処理してるかを知る必要があるネ。

そうなんだ。そのためにＧＰＳの仕組みを説明してるんだネ。でも、ほとんど三辺測量の原理だけで済ませてるのは、なぜ？　三辺測量の「辺」は文字通り辺の長さのことだから、原子時計の補正とは関係ないような気がする。

学者が本気で気づかないのか、わざととぼけているのかわからないけど、三辺測量の原理は、はじめから任意の長さの辺が複数与えられて、各辺の固定された一端を中心に球を描いたときに交差する１点を求めるもの。

説明された原理の範囲内で問題解決をしようとしたら、辺の長さの求め方やその計測プロセスを気にすることなく、ただ与えられた距離を使って座標を特定すればいいだけ。原子時計の相対論的補正も処理済みで、各ＧＰＳ衛星からの距離が確定している状態を想定しているよネ。

そうかな？　ここで整理して、落ち着いてよーく考えてみよう。

ここから先は、導入したモデルが包括していないことを検証している。

なんじゃコリャー！　相対論的効果の証明って、はじめから時刻処理の入っていない簡略化されたＧＰＳモデルを紹介しといて、最後まで相対論的補正分が消えないようにしてたんだネ。バカバカしい。

そりゃそうだよねネー。宇宙を飛んでる人工衛星を利用して、１億分の１秒を問題にしてるシステムなんだから、小学校レベルの［時刻の誤差］×［光速度］の数式１つでシステム全体の精度を計算しましたって言われてもネー。

時計機能の付いた光波測距儀とかだと、
「よう新入り！　時刻合ってねぇ光波が何千万kmも誤差出ちまうの当たり前だろっ！　誤差が許されねぇ現場は、巻尺用意しとけってあれほど言ったじゃねえか！」
って、測量屋さんあるあるだと思う？　そんなバカな設計してる測定器、ゼッタイ買わないよネ。

実際、相対論的補正をした原子時計の影響なんて、その他の原因と比べるとあまりも小さすぎて、測量関係の資料なら、「ＧＰＳにおおける相対論的補正は、他の誤差要因と比較して極めて軽微であるため、ここでは単に紹介に留める」程度しか触れられていない。

まとめると、

結局、ニール・アシュビーの仮想的なシステムから始まって日本でアレンジされた相対論的時刻補正の「誤差１日１０Km説」は、海外でも拡散されてる。日本で自慢のウンチクが、海外で「迷惑な都市伝説」として疑似科学視されてるのに、これでいいの？　日本の科学。

相対論的時刻補正で進み方を変えた原子時計は、発信時刻情報も変えてしまう。だからって,カーナビが教えてくれる位置情報にもダイレクトに表れるという考え方は、ＧＰＳの仕組みを無視している。

複数のＧＰＳ衛星からの時刻データをどう処理してるかは、カーナビに内蔵されている処理回路も詳細に調べる必要がある。でも、当たり前だけど、これ結構複雑でめんどくさい。だから、時刻データ処理の流れの一部だけでも紹介しようと思う。

時刻処理だけを摘出すると、今まで見えなかったいろんなことも見えてくる。簡単なＧＰＳの説明だけで分かった気になってた人は、この巧妙なアイデアに感動しない？　これが全体のほんの一部だってんだからもう頭が下がりっぱなし！

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時刻と時間をはっきり区別する

まず、一番注意しなければないのは、時刻信号を送っているＧＰＳの仕組み上、時刻が主役になるってこと。時刻と時間を厳密に分けて考えなければ処理の流れを追う意味がないヨ。

そんなの当たり前じゃないかと思うかもしれないけど、実際に、アインシュタインは特殊相対性理論の論文中で、時刻と時間に同じ文字を使って、式の展開を間違えている。「カーナビは相対論のおかげ」や、その他大量の荒唐無稽な理論は、時刻と時間を厳密に分離しなかった当然の結果だヨ。

さて、衛星に搭載されている原子時計が1日当たり45億分の1だけ進み方が不正確だとすれば、当然、発信時刻もずれてしまう。そして発信時刻も同じようにずれるとすると、カーナビ側でＧＰＳ衛星の軌道を割り出すときに多少ずれたところから信号が来たと勘違いすることになる。

ただ、この相対論的な影響は無視できるほど小さかったことを別ページ(カーナビの相対論的効果はウソ)で検証しているので、今はそのあとの処理を全体的に見てみよう。

特徴的なのは、時刻信号がカーナビに入ってから、最終的に受信地点をはじき出すまで、距離のデータを必要としていないこと。衛星からの距離で受信地点の座標を求めるなら、距離が入力されていないのは不思議じゃない？

もちろんそうだヨ。だけど、はじめに疑似的に設定した受信時刻を連立計算で確定するのが発信時刻となると、相対論のはなしは総崩れだよネ。時刻データに含まれている原子時計の相対論的補正分は相殺されてしまうからネ。

１日当たり４５億分の１秒の違いが出る信号が、発信されて受信されるまでの約０．１秒の間に発生する時刻の誤差だけがこの連立計算を回避していることになる。ざっくりと計算すると１.３Cmほどで済むハズ。どうして相対論の専門家が出す答は７ケタ、およそ１千万倍も多く見積もられてしまうんだろうね。

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カーナビの時計は無関係

これはＧＰＳ衛星の補正とは別のカーナビ内部の補正の話なんだけど、なぜかこれがＧＰＳシステムの同期とごちゃ混ぜになってることがある。

精度が１か月±１０秒しかないクォーツって、１日当たり約０．３秒の誤差が出る。これを４５億分の１秒の誤差で１０ｋｍも違ってくる相対論式計算に適用すると、１秒当たり、

の誤差になる。あらかじめ発信時刻で同期させてあったとしても伝搬時間に０．１秒かかるから４５億ｋｍの誤差？　こりゃ確かに使い物にならない。

相対論で「カーナビ内の時計を同期しているから正確な位置が・・・」という話を要約すると、各衛星からの受信時刻と座標を連立方程式のアルゴリズムで正確な時刻時刻が判明してるはずなのに、カーナビ内の時計と同期してその時計の受信時刻から伝搬時間を計算することになってる。

「カーナビ内の時計を同期しているから正確な位置が・・・」は、だいたいこの程度の落ち。そりゃ正確な原子時計から正確な時刻を算出したら、ついでにカーナビのクォーツ時計も合わせとこうって設計してるのは予想できる。でも、クォーツ時計を基準に受信地点を割り出すって解釈しちゃうのはどうなんだろネ。

なんだから。フツーは計算で出した正確な受信時刻使うでしょ。

極端な話、カーナビのシステムクロックさえ動いていれば、カーナビ本体の受信時刻なんかなくても、アルゴリズムの工夫次第で何とでもなる。おやつの時間を初期値に採用したって、あっという間にアルゴリズムが収束して正確な現在地をはじき出してくれるはず。

ただし、おやつの時間だとダイエットしてる人が困るから、「クオーツ時刻の受信時刻でも入れとけば、たまに同期してるから」って、そんなかんじだヨ。

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受信時刻は計測していない！

カーナビのクォーツ時計の同期の話や、ＧＰＳ衛星側の相対論的補正の大きさが話題になるのは、依然として、「受信時刻を計測している」という思い込みがあるからじゃないかな。ここまで連立計算とアルゴリズムも出てきたので結論を言ってしまうと、

ところが、

という説明もある。これもよくよく測量関係の式に出てくる「正確な受信時刻」の扱いを見てみると、

となっていて、不明な「正確な受信時刻」を「誤差」と組み合わせて「疑似受信時刻」にしている。しかもこの「誤差」というのは、はじめのうちは疑似誤差と考え、連立計算を繰り返すうちに限りなく０に近づくと同時に、疑似の扱いも消滅する。そして最終的に「正確な受信時刻」だけが残されることになる。

このアルゴリズムはカーナビの性能を左右するから、いろんなメーカーの開発者は独自の工夫をして最小最短で答えを出すアルゴリズムを考えるんだと思う。相対論的な発想でシステムを設計したとしたら、売れるのはカーナビじゃなくて相対論の本だけ。

この流れを図にすると。

仮に設定した「疑似受信時刻」は「正確な受信時刻」に差し替わる。もちろん、仮にカーナビの受信時刻を実測値して採用したとしても、最終的に誤差とともに消滅してしまう。

ここまで、相対論的補正をしなかったときに出てくる大きな誤差というのはは、どれも連立計算のアルゴリズムで消去されてまうということがわかったネ。その工程を含まない三辺測量の原理を使って相対論独自のＧＰＳシステムを説明することで、相対論的補正の大切さがアピールされていることも。

４５億分の１秒の補正を追跡する議論に、実際のシステムとは違うモデルで説明している理由もわからなければ、訂正しない理由もわからない。難解でも誤りのない解説を心がけるのが科学者の役割じゃない？　

「カーナビは相対性理論のおかげ」と信じてしまった人たちも一応は自分の頭で考えて納得したんだと思う。だた、ほとんどがＧＰＳシステムの誤った説明からきている。その誤った説明は相対論の専門家だったり、その説明を聞いたシッタカさんだったり、そのパターンは様々。

一般の人がカーナビの仕組みまで詳しく知る必要性はマッタク感じないけど、このままだとまだ悪用されそうだから、ＧＰＳとカーナビの誤解をいくつか指摘しておく必要がありそう。

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4つの未知数は球の半径？

４つ目のＧＰＳ衛星が必要なのは交点を限定するため？

連立計算と普通の計算の違いは？

原子時計は相対論的補正されている？

重力の違いで時間の進み方が違う？

Wikipediaで判断する？

簡単で初歩的な説明でも、その背景までさかのぼって自分の頭で考えようってことだネ。